Если кратко - проблема в allow_url_fopen, так как каптча использует file_get_contents, а функция не сможет получить удаленный url, если эта галочка не включена.

Функция php file_get_contents возвращает пустую строку при обращении к любым внешним ресурсам. Если запрос к рекапче, который идет через file_get_contents, просто вставить в строку браузера, то проблем нет, ответ возвращается (на скриншоте возвращается false, т.к. запрос старый: